Análise do Documentário sobre a fórmula Black-Scholes:

Trabalho apresentado à disciplina de Teoria
Econômica como requisito parcial à aprovação.

Introdução

O assim intitulado “Documentário sobre a fórmula Black-Scholes” refere ao desenvolvimento de tal formulação matemática. Inicia-se abordando um dos problemas associados à especulação acionária de mercado: os riscos sobre retorno de investimento. Em outros termos, os riscos relativos a se comprar algum ativo em detrimento de outro e os rendimentos desse serem menores que os daquele.

Com base em suas experiências, os “traders” compram e vendem ativos nos pregões das bolsas de valores, alguns ganham maior notoriedade devido à suas altas taxas de acerto, isto é, de lucro sobre a compra de ações, por exemplo. No documentário, Leo Melamed, notório trader, fala sobre a intuição como principal ferramenta de escolha na negociação desses ativos.

Porém, acadêmicos passaram a estudar o mercado financeiro e a atuação dos traders a fim de buscar compreender seu funcionamento e mesmo “domar” o mercado. Esses estudiosos realizaram uma série de experimentos chegando à conclusão nada lisonjeira aos traders de que o mercado de capitais funciona de maneira tão aleatória que qualquer tipo de análise ou escolha metódica seria impossível, de maneira que os traders não teriam outro tipo de experiência se não em contar com a sorte.

Se há 10.000 pessoas olhando para as ações, assim 1 a cada 10.000 vai marcar, por acaso, uma grande ação. Isso é tudo o que está acontecendo. É um jogo, uma operação de oportunidade. As pessoas pensam que estão fazendo algo proposital, mas realmente não estão (MILLER[1] apud DOCUMENTÁRIO...).

Assim, por algum tempo, sugere o documentário, os acadêmicos desistiram de buscar domesticar o mercado, até que em 1950 o professor Paul Samuelson deparou-se com o quase extraviado trabalho de Louis Bachelier, no qual se afirmava serem imprevisíveis os preços das ações, mas possível livrar-se dos riscos através das opções. Tudo o que lhe faltava era uma fórmula matemática capaz de avaliar amplamente tais opções. Isso fez com que os acadêmicos voltassem a estudar o Mercado com mais ânimo.

A partir desse novo fôlego aos estudiosos, seguiram-se inúmeras tentativas de prever o comportamento do mercado a fim de se minimizar os riscos e maximizar os lucros. Muitas delas descambaram em fórmulas matemáticas gigantescas, abstratas e inaplicáveis, a partir das quais, mais tarde, Black e Scholes iniciaram seus trabalhos, chegando à concepção da famosa notação capaz de atribuir um preço justo e coerente a uma opção com base na variação de uma ação.

Uma opção, segundo os próprios Black e Scholes apud Oga (2007) “são espécie de derivativo, um contrato que dá a seu titular o direito de comprar ou vender um ativo, sob certas condições, num determinado período de tempo”, enquanto que os Derivativos são documentos cujo valor de negociação deriva de outros ativos.

Para melhor entendermos imagine-se a seguinte situação: ao decidir comprar certa bicicleta, o indivíduo pesquisa, de loja em loja, o preço. Em certo estabelecimento ele a encontra por R$ 500,00, valor que considera satisfatório. Porém, prefere pesquisar em mais algumas lojas. Para não perder a compra, propõem ao dono da loja que lhe guarde a tal bicicleta pelos mesmos R$ 500,00 até às 18 horas do dia seguinte, pagando, para tanto, uma quantia de R$ 5,00.

Nesse caso, o ativo é a bicicleta; o valor da opção, também chamado de prêmio, é R$ 5,00; o strick, também conhecido como preço de exercício é R$ 500,00, ou seja, é o valor pelo qual o indivíduo terá direito de comprar a bicicleta no prazo de exercício, que nesse caso é até às 18 horas do dia seguinte.

 Black-Scholes

Scholes e Black com base na literatura econométrica disponível à época começaram a trabalhar em uma nova formulação, sem aqueles conceitos imensuráveis e desnecessários, chegando aos elementos básicos da equação: o preço das ações, sua volatilidade, a duração da opção, a taxa de juros e o nível de risco.

Esse último, no entanto, era um problema ainda imensurável, até que por meio de uma espécie de experimento promovido por eles com uma carteira teórica de ações e opções, desenvolveram o conceito de “hedging dinâmico”, isto é, uma forma de equilíbrio do valor global da certeira por meio de aplicações/apostas contrárias aos movimentos de flutuação desse valor. Dessa forma, o hedge é uma forma de seguro contra as oscilações de preços por meio da especulação. Logo, eles puderam eliminar o risco de sua equação – o grande “milagre” da fórmula Black-Scholes.

Porém, mensurar o risco, na prática, era tanto mais difícil, considerando que o mercado move-se rápido demais. O cálculo seria tardio. Assim, com base na fama de Robert Merton, Black e Scholes o contatam e, a partir de então, ele passa a tomar parte no desenvolvimento da fórmula, adaptando o Cálculo de Ito[2] à formulação, permitindo que o risco fosse continuamente eliminado pelo constante recalcular da opção, viabilizado pela ideia de tempo contínuo.

O Modelo Black-Scholes, o qual permite precificar, isto é, pôr um preço numa opção com base no valor das ações[3], foi finalmente publicado em 1973, na edição maio-abril do “Journal of Political Economy”.

Posteriormente Scholes e Merton[4]  fundaram o “LTCM”, um fundo de investimentos com uma estratégica diferente, mantida em sigilo dos próprios investidores, dentre os quais os maiores bancos do mundo. Graças às suas reputações, Scholes e Merton obtiveram uma receita inicial total de US$ 3 bilhões. Durante os três primeiros anos, o “LTCM” obteve lucros excepcionais, chegando ao ápice da taxa de retorno de 43% aos investidores.

A perspectiva de Scholes e Merton era de que, em longo prazo, as diversas taxas de juros de títulos de governos de diferentes países iriam convergir, de modo que negociavam na diferença existente entre elas. Eles passaram a investir grandes somas em títulos russos, o que lhes levou à falência quando, em 1998 a Rússia declarou moratória. Com base no hedging dinâmico, o “LTCM” parou de comprar papéis governamentais, procurando refúgio nos seguros títulos do governo americano, e a diferença entre as taxas de juros dos títulos aumentou rapidamente. Quando o fundo foi à falência, levou Wall Street ao pânico, conforme Münchau[5], fazendo com que o Federal Reserve System traçasse um plano de recuperação do “LTCM” a fim de evitar uma crise bancária talvez fatal ao mercado de capitais à época.

[...]

Considerações Finais

Como visto, a mercado sempre esteve à mercê do risco. O Modelo Black-Scholes de precificação surgiu como um alento esse problema, permitindo que as carteiras de investimentos fossem mantidas em equilíbrio por meio da prática intitulada pelos autores de “hedging dinâmico”, ao passo que as opções, cujo valor antes era pouco mensurável graças às constantes e aleatórias flutuações do mercado, ganharam um método de precificação com base no preço das ações e com alto grau de exatidão.

O Modelo, grosso modo, analisa como mercado tem se comportado (o preço da ação é em si fruto do comportamento do mercado e ela é um dado central no calculo do preço da opção) e, com base nesses dados, formula como se há de comportar.

É claro que diversos fatores podem influenciar o grau de acerto do cálculo. Por exemplo, o cálculo demonstrativo feito pelo site “EPXX.CO[6]” em 27 de novembro de 2007:

“[...] vamos calcular uma opção de acordo com o fechamento de hoje. Vale do Rio Doce (VALE5) fechou com a cotação de 52.06 (na verdade fechou a 51,90 no aftermarket, mas vamos considerar o fechamento oficial, pois opções não têm aftermarket). A volatilidade anual da Vale, calculada de acordo com o último mês, é de 46,92%. A taxa de juros atual é 11,75% ao ano. A opção VALEL50, com strike de 49,66, expira dia 17/12. Jogando tudo isso na calculadora, o resultado é 3,64. Isso quer dizer que o valor "justo" da opção é 3,64 [...].No entanto, VALEL50 fechou hoje cotada à 3,97. O que isso quer dizer?  Pode querer dizer que qualquer dos fatores citados acima (sem ágio, rendimentos aleatórios e tendentes à taxa de juros) podem não ser verdade”.

O site argumenta que como não existe método melhor que o Black-Scholes, os negociadores preferem atribuir essa discrepância dos valores ao que chamam de “volatilidade implícita”. Essa noção de volatilidade se explica pela lei da oferta e da demanda: há muitos compradores de ações da VALEL50 , que adquirem essas ações na esperança de que elas se valorizem muito e aumentem o lucro do comprador. Naturalmente isso pressiona a demanda e o preço sobe.

Outro aspecto interessante das opções é que, caso a cotação da ação esteja acima de R$ 3,67, como ocorreu, os compradores poderão compra-la pelo valor de R$ 3,67 ao invés de R$ 3,97. E depois, se quiserem, vende-la por esse maior valor. Por outro lado, quando a opção é de venda e não de compra, o vendedor pode exercer o seu direito de vendê-la por R$ 3,67, mesmo que a cotação da ação esteja, por exemplo, em R$ 2,50, e depois compra-la pelo preço mais baixo.

[...]

Por fim, os intermediários e os traders profissionais, em geral, procuram utilizar-se no processo de negociação não apenas de conhecimento fundamentalista como o Modelo Black-Scholes, mas conforme o próprio documentário evidencia, preferem confiar tanto mais em suas intuições e instintos, afinal, o mercado é imprevisível e aleatório demais para ser teorizado e planificado em fórmulas perfeitas. Tal como Documentário afirma, “há um fascínio tentador e fatal na Matemática”. Mensurar o comportamento é algo ainda impossível para a rigidez do Cálculo!

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1. Merton Miller (1923-2000), professor da Universidade de Chicago, publicou com Franco Modigliani em 1958 o artigo “The Cost of Capital, Corporate Finance and the Theory of Investment” no qual se opõem à perspectiva da Teoria da Empresa.

2. Desenvolvimento pelo cientista japonês Ito para calcular a trajetória de foguetes. Grosso modo, o cálculo permite dividir o tempo em partes infimamente pequenas ao ponto de trata-la como num continuo, o que permitia atualizar constantemente a trajetória dos foguetes.

3. Embora hoje possua uma ampla aplicação em Economia.

4. Black falecera anos antes de todos serem laureados com o Prêmio Nobel pela descoberta da fórmula e, portanto, antes da criação do Fundo.

5. MÜNCHAU, Wolfgang. Os anos de colapso: o estouro da crise econômica mundial. Tradução: Francisco Araújo Costa. Porto Alegre: Brookman, 2014.

6. A FÓMULA de Black-Scholes para precificação de opções. Disponível em: . Acesso em 08 jun. 2015.

Referências 

DOCUMENTÁRIO sobre a fórmula Black-Scholes. Disponível em: . Acesso em: 07 jun. 2015.

OGA, Luiz Fernando. A Teoria da Ciência no Modelo Black-Scholes de apreçamento de opções. 2007, 60 fls.. Dissertação apresentada para a obtenção do grau de Mestre em Filosofia pela Faculdade de Filosofia, Letras e Ciências Humanas, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2007.

SOLA, Guilherme; et al. Manual de aplicação do Modelo Black-Scholes para a precificação de opções. INFINANCE. [s.l], [s.d].

TIPOS de investidor. Disponível em: . Acesso em: 07 jun. 2015.

Farias, M. S. "Análise do Documentário sobre a fórmula Black-Scholes:". Junho de 2015. http://livredialogo.blogspot.com.br/

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